Autor: José Salvador Ruiz
Fargueta, ingeniero técnico y licenciado en físicas.
The quantic vacuum stabilization and the compacted
dimensions
From the fractal dimension study of the energy of the quanta
fluctuations vacuum, it
can be deduced that it is dependent on the inversion of the distance
(uncertainty principle)
which is a product of the space geometry of our Universe, constituted of
the 3 ordinary
dimensions plus time plus 6 additional and compacted dimensions. Without
the effect of this
geometric configuration, the quantum vacuum would be very distorted and
will significantly differform the flat and steady vacuum that we know.
Del estudio de la
dimensión fractal de la energía de las fluctuaciones cuánticas del
vacío, se deduce que su
dependencia con el inverso de la distancia (principio de incertidumbre)es un
producto de la especial geometría de nuestro Universo, formado por 3
dimensiones ordinarias más el tiempo y 6 dimensiones extras, enrolladas. Sin el
efecto de esta configuración geométrica el vacío cuántico estaría terriblemente
deformado y distaría mucho del vacío plano y estable que conocemos.
La existencia del cuanto
de acción es la causa de que desaparezca el concepto clásico
de trayectoria continua y
deba ser sustituido por el de trayectoria fractal (discontinua,
fracturada). El vacío
absoluto y continuo de Newton, como marco estable de referencia, es
sustituido por un vacío
discontinuo y cambiante, merced a la propia estructura de la energía de sus
fluctuaciones cuánticas. Nos encontramos, pues, ante un inmenso fractal, el
propio vacío cuántico, modelado por sus fluctuaciones de energía de las que
queremos extraer una
información preciosa, que
nos dará pistas sobre el propio Universo y su formación: su
dimensión fractal.
El estudio de un fractal
sencillo nos ayudará. En concreto, es interesante fijarnos en el
que representa al llamado
“movimiento browniano”, descubierto por Robert Brown, un
botánico escocés que
vivió entre finales del siglo XVIII y primera mitad del XIX. Estudió la flora de
Australia y Nueva Zelanda y descubrió el llamado “movimiento browniano” de las
partículas coloidales, que ha servido de base para el estudio de la cinética de
los gases. Este movimiento browniano tiene mucho que ver con nuestro problema,
su dimensión fractal es 2 , el típico de una variable puramente aleatoria que,
en cierta forma, sobre un plano ( dimensión topológica o aparente 2) sería
capaz de recubrirlo.
Para variables con
dimensión topológica distinta de la unidad es conveniente hablar
del cociente D/ δ ( dimensión fractal (D)/ dimensión topológica o aparente (δ) ) más que,
simplemente, de su
dimensión fractal. Reducimos así la dispersión de resultados y
encontramos más
fácilmente símiles con ejemplos sencillos como trayectorias
unidimensionales. Dicho
cociente para el fractal que representa al movimiento browniano será:
(1) D/ δ = ( δ + ε ) / δ = ( 1 +1 ) / 1 =2, donde
el sumando positivo ε ,que se añade
a la dimensión
topológica, es la dimensión del factor de arrugamiento y nos da una medida de su
irregularidad, de su fractura y “arrugamiento”. En este caso ε = 1 .
La variable que
representa el producto acotado:
(2) ( Δ E ) ( Δ x )< constante ( principio de
incertidumbre, en donde Δ t se ha
sustituido por Δ x / c ), es del mismo tipo
que la relativa al movimiento browniano. El valor de
este producto acotado es
equivalente al paso que dan las partículas coloidales antes de
chocar, puede tener
cualquier valor aleatorio aunque acotado, por lo que su cociente D/δ es
igualmente 2.
Intuitivamente, este valor 2 nos indica que se necesitan n2
pasos
totales para
conseguir n pasos
efectivos, es decir una partícula coloidal deberá dar, como media, n2
pasos para
poder alejarse de un punto arbitrario tan sólo n pasos efectivos.
En cierta forma, la
dimensión fractal nos da una idea de magnitud encubierta, de
compactación. Una
trayectoria de dimensión fractal 3 es mucho más intrincada, más compacta que
otra de dimensión fractal 2. Si hubiéramos seguido la trayectoria con un hilo
ideal muy fino, en el primer caso el diámetro del ovillo resultante sería del
orden de la raíz cúbica de la longitud total del hilo utilizado, en el segundo
del orden de su raíz cuadrada. Observamos que existe una íntima relación entre
la magnitud del ovillo, es decir su dependencia con la distancia, y su
dimensión fractal. Cualquier fenómeno que modifique su dependencia con la
distancia incidirá directamente en su dimensión fractal y viceversa.
Para nuestro caso, la
energía de las fluctuaciones del vacío ( la magnitud del “ovillo” )
depende del inverso de la
distancia, lo que supone un cociente D/δ igual a –1, que resulta
completamente irregular e
induce a pensar en la existencia de un factor desconocido que está influyendo
en el cálculo e introduciendo una distorsión considerable.
El factor negativo, que
supone una resta de dimensiones, me hizo pensar en las
dimensiones enrolladas
previstas por la teoría de supercuerdas, la más prometedora teoría
que trata de unificar las
cuatro interacciones fundamentales: gravedad, electromagnetismo,
fuerza débil y fuerte.
Dicha teoría necesita de 9 dimensiones espaciales para ser consistente, y ,dado
que sólo conocemos 3, se ha especulado con la existencia de otras 6 que, supuestamente,
estarían “enrolladas” sobre si mismas ,compactadas alrededor de un radio extremadamente
pequeño (del orden de la longitud de Planck,10 -35 metros). Así para
distancias mucho mayores
que ese radio sólo serían perceptibles las 3 dimensiones ordinarias.
En cierta forma, para
esas distancias, el número de dimensiones enrolladas se resta al total de las
topológicas para dejar tan sólo 3 dimensiones aparentes. Una operación
contraria al efecto de la dimensión del factor de arrugamiento, que se suma a
la dimensión topológica.
En la expresión (1) si
hallamos el cociente D/δ para un Universo con el mismo número
de dimensiones enrolladas
que la dimensión del factor de arrugamiento
(transformación : δ −> δ − ε ) , encontramos:
(3) D/δ = (δ ) / (δ – ε) . Para ε = 6 , δ =3, el cociente D/δ toma el valor
–1 de forma natural y lógica.
Sin dimensiones enrolladas el factor ε = 6 supone una
dimensión fractal 9 y una
dependencia de la energía de las fluctuaciones con la raíz cúbica de la
distancia (D/δ = 3) . El efecto de las
dimensiones enrolladas la corrige hasta dejarla
dependiente del inverso
de la distancia, lo que repercute en la forma en que advertimos el
vacío cuántico:
completamente vacío y estable.
Para un universo con un número de dimensiones enrolladas igual a
la dimensión
del factor de arrugamiento de la energía de las fluctuaciones , se
consigue la
estabilización de esta energía que de otra forma dependería de la
raíz cúbica de la
distancia y no de su inverso. El vacío y toda la materia que
contiene estarían deformados
y serían inestables .
La especial geometría formada por las dimensiones ordinarias, las
enrolladas y
el tiempo permite un vacío cuántico estable que de otra forma
haría imposible el
Universo tal como lo conocemos, pues la turbulencia creada a todos
los niveles
impediría cualquier tipo de coherencia. Conforme nos acercamos a
las distancias del
orden de la longitud de Planck, este efecto estabilizador
desaparece y se nos presenta
un vacío deformado e inestable.
La transparencia del vacío, tal como la advertimos, es la mejor
prueba de la
existencia de las 6 dimensiones enrolladas.
Bibliografía:
B.MANDELBROT:Los objetos fractales. Tusquets Editores,Barcelona,1987.
G.COHEN-TANNOUDJI,M.SPIRO:La materia-espacio-tiempo
.Espasa-Calpe,Madrid,1988.
S.WEINBERG, “ et al”:Supercuerdas¿Una teoría de todo?. Edición de P.C.W.Davies y
J.Brown.Alianza Editorial,Madrid,1990.
M.KAKU: Hiperespacio .Crítica (Grijalbo Mondadori)
,Barcelona,1996.
http://www.daec.obspm.fr/users/nottale/ (Página web de Laurent Nottale, sobre el espaciotiempo fractal,
con la descripción de su teoría y sus artículos ( en francés e inglés).
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En este próximo artículo se profundiza en lo explicado en el anterior: Del estudio de la dimensión fractal de la energía de las fluctuaciones cuánticas, se puede deducir la íntima relación entre el cuanto de acción de Planck y la especial geometría de nuestro Universo, constituido por 3 dimensiones ordinarias y 6 dimensiones enrolladas: Una sencilla expresión 2+f =( δ+ε )/δ relaciona el número de dimensiones ordinarias δ, el número de dimensiones enrolladas ε y un parámetro f ligado a la naturaleza del cuanto fundamental.
Segundo artículo. Ciencia Abierta nº 26, Carta al Editor PDF:
“La naturaleza del cuanto de acción y las
dimensiones enrolladas”
“The Planck action quantum and the compacted dimensions”.
From the fractal dimension study of the energy of the quanta
fluctuations vacuum, it can be deduced the relation between the nature
of
Planck action quantum and the special geometry of our Universe,
constituted of the 3 ordinary dimensions plus 6 additional and compacted
dimension.
Del estudio de la
dimensión fractal de la energía de las fluctuaciones
cuánticas, se puede
deducir la íntima relación entre el cuanto de acción de
Planck y la especial
geometría de nuestro Universo, constituido por 3
dimensiones ordinarias y
6 dimensiones enrolladas.
INTRODUCCIÓN
Al tratar de calcular la
dimensión fractal de las fluctuaciones
cuánticas del vacío (fcv),
el resultado final a que llevan los cálculos,
resumidos en la tabla
siguiente, es totalmente inesperado. Todo parece
indicar que el valor
verdadero del fractal que representa a las fcv es de 9 .
Al “exceso” de ese valor,
sobre el valor 3 de las dimensiones topológicas,
que es 6 lo he llamado dimensión
del factor de arrugamiento, pues en
cierta forma, representa
la irregularidad del fractal.
En el anterior trabajo (
número 23 de Ciencia Abierta) se demostraba
que, en nuestro mundo
macroscópico, las dimensiones enrolladas ejercen
cierta acción contraria a
la desarrollada por la dimensión del factor de
arrugamiento. Esto se
traduce en la corrección de la dependencia de las
fluctuaciones cuánticas
del vacío con la distancia. A una dimensión fractal 9
le corresponde una
dependencia de las fcv del orden de la raiz cúbica de la
distancia, la realidad
nos dice que dependen de su inverso debido a la
corrección a la que
apunto.
Por otra parte, ligado a
este hecho se observa que la propia naturaleza del
cuanto de acción es un
fiel reflejo de la propia geometría del Universo,
formado por 3 dimensiones
ordinarias y otras 6 enrolladas. Como veremos,
al generalizar con el
factor ficticio de peso f el cuanto:
Δ E t f ,
obtenemos la expresión 2+f = ( δ+ε ) /δ , que liga el factor
f con el número de
dimensiones enrolladas ε y con el número de
dimensiones ordinarias δ
. Para un valor diferente en el número de
dimensiones ordinarias o
enrolladas, el valor de f sería distinto de la unidad
y el cuanto de acción,
como mínima expresión de la acción, no existiría.
Es de resaltar, como
veremos más adelante, que el valor 2 en la expresión
anterior es el valor de
la dimensión fractal de un movimiento aleatorio puro
tipo browniano. Para f =
0, el cuanto fundamental no sería de acción sino de
energía, correspondería
al mínimo valor de energía posible.
Tabla 1.-_Descripción y
cálculos:
Un ejemplo de cálculo.
En principio, por
similitud, nos centraremos en el cálculo de la
dimensión fractal de una
variable aleatoria v de estructura fractal, como es
el movimiento aleatorio
simple, que va incrementando la posición inicial con
los valores +1 ó –1, es
decir : abs ( Δ v ) =1 , donde abs ( ) se traduce por “
valor absoluto de” . Es
bien sabido, que el valor esperado después de n pasos
es n1/2 . Su dimensión
fractal será:
D = D top. (log n)/(log n1 /2 ) =2 , pues D top = dimensión topológica ,
que en el caso de una
trayectoria clásica es igual a 1 .
Dimensión del factor de
arrugamiento.
La expresión D / D top.
adquiere nuevo significado si la igualamos a:
(δ+ε) / δ., siendo δ = D
top. y ε un valor que llamaremos “dimensión del
factor de arrugamiento”.
En este caso, siendo δ = D top. = 1, el valor de
ε será 1, y resultará
tanto mayor cuanto más intrincado sea el fractal que
representa. La suma δ+ε
es la dimensión fractal, para el caso no fractal,
lógicamente, ε = 0 , D /
D top. = 1.
Simplificación del
cálculo.
La dimensión fractal 2 es
, también, la dimensión típica, de un
movimiento browniano cuya
variable, aunque acotada, puede tomar muchos
más valores ( no sólo +1
ó –1). Esta circunstancia es esencial para nuestro
cálculo, pues supone que
una variable v, de este tipo, se puede definir como
Δ v <
constante o como abs (Δ v ) = constante , sin que
cambie el valor de
su dimensión fractal y la
expresión matemática del correspondiente cálculo.
Cálculo de la dimensión
fractal.
El principio de
incertidumbre, que acota la energía de las
fluctuaciones del vacío
en función de la distancia, obedece a la expresión :
Δ E Δ x
< h c/2π
( sustituyendo Δ t por
Δ x/c ). Eligiendo las unidades de forma
conveniente y
aplicando lo que acabamos
de apuntar ( el producto Δ E Δ x, se comporta
como una variable
aleatoria del tipo browniano ) queda: ( Δ E ) =1 / n ,
siendo n un número entero
que representa la distancia en función de la
longitud de Planck ( n =
distancia/Longitud Planck). La dimensión fractal, en
este caso, será :
(1) D = D top. energía.
(log n)/ (log 1/n) = -1 . Este valor negativo nos hace
pensar en algún tipo de
distorsión que trataremos de identificar y
neutralizar. Para n
finito ( para evitar indeterminaciones numéricas) es
lícito y conveniente
convertir, mediante una proporción directa, el
valor de referencia 1/n
del denominador por el número entero n :
T : { 1/n à n y, en consecuencia, n à n3 }, ( al final confirmaremos la
validez y el efecto de
esta transformación, que llamamos T ) entonces :
D = D top. energía. (log
n3)/ (log n ). Finalmente el valor de la dimensión fractal
de las fluctuaciones de
energía del vacío D será : 3 * 3 = 9, o bien 9+1
espacio-temporal.
Generalización.
Para generalizar y poder
extraer más información de los resultados,
introducimos el factor
ficticio de peso f en el producto Δ E Δ x, de
forma
que :
(2) Δ E (Δ x) f < h c/2π ,
y realizando la misma
conversión T : ( ahora : 1/nf --> n ,y n--> n2+f ) ,
encontramos la siguiente
generalización de la expresión (1):
(3) D/ D top. energía. = (log n2+f ) / (log n) = ( 2+f )= (δ+ε)
/ δ.
Es de resaltar que para
f=0, la expresión de la energía en (2) resultaría la
típica de una variable
puramente aleatoria, lo que concuerda con el valor de
la dimensión 2 que le
confiere la expresión (3).
Descubriendo el factor
que distorsiona.
Por otra parte, si
realizamos el cálculo directo de la igualdad (1) (sin ningún
tipo de conversión) ,
obtenemos :
D/ D top. energía = ( log n)/ (log 1/nf ) =
- (1/f), que basándonos en (3) y
sustituyendo f por su
valor, en función de δ y ε queda:
(4) D/ D top. energía = -(1/f)= δ / (δ−ε).
Para pasar de la
expresión
(3): D/ D top.
energía. = ( 2+f )= (δ+ε) / δ.
a la expresión (4) no
tenemos más que hacer el cambio: δ −−> δ − ε ,
es decir a la dimensión
topológica δ se le sustrae el valor ε . Este cambio es
equivalente a la
operación de enrollar ε dimensiones reales de las δ
totales, hasta hacerlas
ocultas.( Se enrollan e l mismo número de
dimensiones que el valor ε de dimensión del
factor de arrugamiento).
Nota sobre la
transformación T .
Generalizada con el
factor f, la transformación T, hemos visto que
convierte:
{ 1/nf à n , y , n à n2+f }, es decir, el
valor (log n )/ (log n–f ) en
( log n2+f ) / ( log n)
. La transformación: δ −−> δ − ε ( enrollar un número
ε de dimensiones) ,
resulta ser la inversa de la transformación T, de hecho
si sustituimos f por su
valor ( ε−δ ) / δ y aplicamos la transformación T, el
resultado es equivalente
a la transformación: δ / (δ−ε) à (δ+ε) / δ ( o bien:
-1/f à 2+f ). Es decir, T es capaz de eliminar
el efecto de las dimensiones
enrolladas. Nos presenta
el valor que tendría la expresión D/ D top. energía
sin la acción de las
mismas.
CONCLUSIÓN
Una sencilla expresión 2+f
=
( δ+ε )
/δ relaciona el número de
dimensiones ordinarias δ , el número de
dimensiones enrolladas ε y el
parámetro f ligado
a la naturaleza del cuanto fundamental.
Lecturas recomendadas:
B.MANDELBROT:Los objetos
fractales. Tusquets Editores,Barcelona,1987.
J. SALVADOR RUIZ
FARGUETA: Estabilización cuántica y dimensiones
enrolladas . Nº 23, 2004,
Revista Ciencia Abierta, Universidad de Chile:
http://cabierta.uchile.cl/revista/23/articulos/pdf/edu3.pdf
J.SALVADOR RUIZ FARGUETA:
El sorprendente vacío cuántico. Revista
Elementos (Benemérita
Universidad Autónoma de Puebla) nº 53 ,2004,
pp.52-53. ( También en la
web:
http://www.elementos.buap.mx/num53/htm/52.htm
)
Tercer artículo, Ciencia Abierta, número 28 (5 nov. 2005): Before the Big Bang?
¿Antes de la Gran Explosión ?
Nuestra vida transcurre en un mundo de tres dimensiones espaciales, pero en
un estado inmediatamente anterior al Big Bang, la gran explosión que dio lugar a todo
lo que conocemos, el Universo tuvo que elegir, entre todas los posibles, la
configuración geométrica actual, es decir tres dimensiones ordinarias y seis
compactadas o enrolladas, tal como exige la teoría de supercuerdas la única capaz,
hasta el momento, de unificar las cuatro interacciones fundamentales.
En ese estado, que llamaremos, Y
BB no existía todavía la materia ni la energía
que están claramente definidas y ligadas a las tres dimensiones ordinarias . La propia
naturaleza del cuanto de acción, que en cierta manera podría ser considerado como el
tipo de “baldosa” o granulado de que está hecho el universo se tuvo que definir
también entonces, como veíamos en el anterior trabajo en Ciencia Abierta [Nº26,2005]
Artículo completo (PDF) en link siguiente:
Before the big bang?
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Cuarto artículo. Ciencia Abierta, número 31
"Polvo fractal con dimensión entera"
"Fractal powder with entire dimension"
Cuando no eran conocidos los fractales resultaba extraño hablar de dimensiones no
enteras. Ahora que son conocidos nos puede ayudar a comprenderlos mejor los casos de
figuras fractales con dimensión entera.
When the fractals was not known it was strange to speak of non entiers dimensions.
Now that they are known it can help us to understand them better the cases of figures
fractals with entier dimension.
En 1975 Benoit Mandelbrot publicó un ensayo titulado” Los objetos fractales: forma,
azar y dimensión”. En la introducción comentaba los conceptos de objeto fractal y
fractal como términos que había inventado a partir del adjetivo latino “fractus” ( roto,
fracturado). Posteriormente, en 1982, publicó el libro “The Fractal Geometry of
Nature”, en donde proponía : “Un fractal es, por definición, un conjunto cuya dimensión
de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica.”
De forma simplificada, esa dimensión tan rara se podría entender de la siguiente
manera: Una línea recta de longitud N queda recubierta por un número N de segmentos
de longitud unidad. Podemos expresarlo diciendo que
longitud_línea = N
(+1) . Un
cuadrado con lado N queda recubierto por N
2 pequeños cuadrados de lado la unidad. De
forma similar a la línea se puede expresar que
superficie_cuadrado = (N)
(+2) . Sabemos
que una línea recta tiene dimensión topológica 1 y una superficie dimensión 2. Para
recubrirlos necesitamos un elemento similar pero más pequeño N
D veces (en estos
ejemplos de magnitud unidad ). En general, el exponente D , generalizado a cualquier
objeto, representa la dimensión de Hausdorff-Besicovitch del objeto.
Artículo completo: Polvo fractal con dimensión entera.
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