sábado, 16 de noviembre de 2013

“Geometría fractal del vacío cuántico” / The fractal geometry of the quantum vacuum (vacuum energy)

Mediante un instrumento matemático sencillo y propiedades básicas de
las fluctuaciones cuánticas del vacío descubrimos su estructura oculta.

Using a simple mathematical tool and a basic properties of quantum
vacuum fluctuations discover its hidden structure.


PACS: 05.45.Df , 03.65.-w , 42.50Lc.



A veces lo más sorprendente es lo que ocurre cada día. La transparencia del
vacío, por ejemplo, que todo el mundo da por natural y lógica, puede que no lo
sea tanto. Sobre todo si consideramos las tremendas energías asociadas al
vacío cuántico. A la menor distancia posible,10-35metros, llamada longitud de
Planck, se le asocia una masa del orden de 2x 10-5 gramos. Si mantuviéramos
la misma relación y asignáramos la masa correspondiente a un metro, nos
encontraríamos con la friolera de 1.2 x 1024 toneladas. Pero las fluctuaciones
cuánticas del vacío están acotadas y dependen del inverso de la distancia: esa
es la razón de que observemos el vacío transparente y completamente vacío.
El cuanto de acción es el responsable de la energía asociada al vacío, de sus
fluctuaciones cuánticas. Su extremada pequeñez nos permite ver nuestro
mundo cotidiano con una apariencia continua, como la textura de una película
fotográfica con grano extremadamente fino. Así podemos distinguir entre las
propiedades macroscópicas de la materia, que rigen nuestra vida habitual, y las
microscópicas o cuánticas que determinan el comportamiento del mundo
corpuscular.

Geometría determinada por la energía del vacío
Las fluctuaciones de energía determinan la propia geometría del espacio. No
son simples variaciones sobre un fondo fijo y estable, por lo que analizando su
estructura podremos averiguar algo más sobre la referencia espaciotemporal
que determinan. Por una parte son no diferenciables, hasta el punto de que son la
causa directa de la desaparición del concepto clásico de trayectoria continua en
el vacío. Por otra parte su estructura es auto semejante a cualquier escala:
Si tomamos cualquier distancia mayor que la distancia de Planck, por pequeña
que sea (diámetro atómico, por ejemplo) y cualquier otra distancia de orden
cósmico (diámetro de un cúmulo estelar), a una distancia doble le
corresponderá una energía del vacío mitad, y a una distancia mitad una
energía del vacío doble (inverso de la distancia).
En base a estas simples propiedades consideraremos una hipótesis de trabajo:
que la estructura asociada a la energía del vacío de las fluctuaciones cuánticas
es fractal  y trataremos de estudiar sus características.

Dimensión fractal
La característica más especial de los fractales es su dimensión. Siempre es
positiva y superior a su dimensión topológica. En cierta manera, de forma
intuitiva nos indica la dimensión del espacio que son capaces de ocupar. Una
cuartilla es un ejemplo de objeto de dimensión topológica 2, pero si la
arrugamos conseguimos que ocupe un espacio de mayor dimensión, entre 2 y
3 (normalmente fraccionario). Lo mismo ocurre con una línea (dimensión 1) que
si la hacemos lo suficientemente intrincada e irregular es capaz de ocupar un
plano (dimensión 2) e incluso un espacio (dimensión 3). Si la línea llega a
ocupar el plano su dimensión fractal será 2 y si ocupa el espacio tridimensional,
su dimensión fractal será 3. Conforme mayor sea su dimensión fractal, más
intrincado e irregular será el fractal: a su dimensión topológica se le suma un
coeficiente dimensional que completa el valor de su dimensión. Este
coeficiente, normalmente fraccionario, nos indica el grado de irregularidad del
fractal.

Dependencia espacial en los fractales
La líneas fractales gozan de una característica notable con relación a su
dependencia espacial: una línea fractal capaz de recubrir el plano, para
alejarse de cualquier punto arbitrario una distancia efectiva L debe recorrer
una distancia media L2. A otra línea fractal capaz de llenar el espacio le ocurre
algo similar: para alejarse de cualquier punto arbitrario una distancia efectiva L,
deberá recorrer, como media, una distancia total L3. Es decir, el valor de los
exponentes 2 y 3 se corresponde con las dimensiones fractales de las líneas.
Sabiendo la dimensión del fractal podemos calcular su dependencia espacial y
a la inversa. Lo que ocurre con las curvas fractales (dimensión topológica 1) lo
podemos generalizar a cualquier estructura fractal (isotrópica) con mayor dimensión
topológica, dividiendo su dimensión fractal por su dimensión topológica.
Reducimos así la dispersión de resultados y encontramos más fácilmente
símiles con ejemplos sencillos como trayectorias unidimensionales. A este
cociente le llamaremos dimensión fractal relativa:

Dim. frac. relativa = (dimens. topológica+ coef. dimensional )/(dimens. topológica).

En nuestro caso conocemos que la energía asociada al vacío depende
inversamente de la distancia (L-1). Si fuera una simple línea (dimensión 1)
encontraríamos que su dimensión fractal sería -1, pero como la energía es una
magnitud tridimensional su dimensión fractal será -3, lo que obedece a un
coeficiente dimensional negativo e igual a -6.

Tanto la dimensión fractal como el coeficiente dimensional negativos son
resultados anómalos que obedecen a una causa sorprendente que
estudiaremos a continuación. Siempre en base a la hipótesis fractal de las
fluctuaciones que hemos planteado.
Volvamos a fijarnos en una simple hoja de papel que supondremos de espesor
despreciable. Si la arrugamos estamos “fabricando” un fractal con dimensión
mayor de 2 y menor de 3, es decir estamos sumando a su dimensión
topológica un factor dimensional tanto mayor cuanto más intrincado sea su
arrugamiento. ¿Pero qué ocurre si sobre la hoja lisa, sin arrugar, realizamos la
operación de enrollarla sobre uno de sus extremos de la forma más fina
posible?: A su dimensión topológica 2 le habremos restado una de sus
dimensiones. En cierta forma, estamos realizando una operación con
resultados opuestos al arrugamiento. En un caso se suma un factor
dimensional y en el otro se resta.
Si sobre la expresión de la dimensión fractal relativa aplicamos la siguiente
transformación de resta de dimensiones, que llamaremos T:

T: Valor (dimens. topológica) --> Valor (dimens. topológica – coef. dimensional),

obtenemos la siguiente expresión para un universo con el mismo valor de
dimensiones enrolladas que de coeficiente dimensional:

Dim. fractal relativa = (dimens. topológica)/(dimens. topológica – coef. dimensional).

Si a esta expresión le igualamos el valor (-1) encontramos que el resultado
anómalo obtenido se correspondería al de un universo con 6 dimensiones
enrolladas y con un factor dimensional, también, de 6.
Para un factor dimensional 6, en un universo tridimensional “sin dimensiones
enrolladas”, obtendríamos una dimensión fractal de las fluctuaciones cuánticas
de valor 9, y su dependencia sería proporcional a la raíz cúbica de la distancia
(no a la inversa de la misma). El vacío no sería, desde luego, vacío y las
fluctuaciones cuánticas aumentarían con la distancia e impedirían la más
mínima estabilidad imprescindible para formar estructuras estables de materia.

Conclusión
La dimensión fractal de la energía de las fluctuaciones es 9, lo que le permite
ocupar un espacio de 9 dimensiones: las 3 ordinarias más las 6 compactadas.
Esa especial geometría de dimensiones ordinarias/compactadas determina la
dependencia de la energía con el inverso de la distancia, permitiendo la
estabilidad y la apariencia vacua del vacío cuántico. La geometría adoptada por nuestro universo debió ser determinante en la propia naturaleza del cuanto: ¿Cómo sería un universo con un cuanto de energía, por ejemplo, en lugar del nuestro que está definido por el cuanto de acción [energíaxtiempo] ?

The fractal dimension of the energy of fluctuations is 9, allowing you to
occupy a space of nine dimensions: the three regular 6 more compacted.
This special geometry of ordinary dimensions / compacted determines
energy dependence of the inverse distance, allowing

vacuous stability and appearance of the quantum vacuum. The geometry adopted by our universe must be decisive in the very nature of the quantum: What would a universe with a quantum of energy, for example, instead of our own which is defined by the quantum of action [energy x time]?

Como se comenta en el abstract, se ha utilizado un instrumento matemático
muy sencillo sobre propiedades básicas, pero esenciales, de las fluctuaciones
cuánticas. La conclusión es discutible, pero lógica en base a las premisas adoptadas y puede ayudar a dar un nuevo enfoque “geométrico” sobre el cuanto.

Bibliografía

[1] B.Mandelbrot :Los objetos fractales. Tusquets Editores,Barcelona,1987.
[2] J.S. Ruiz Fargueta: El sorprendente vacío cuántico. Revista Elementos
(Benemérita Universidad Autónoma de Puebla) nº 53 ,2004, pp.52-53.
http://cabierta.uchile.cl/revista/23/educacion/educacion.html (enlace roto)

3 comentarios:

  1. Es una pena realmente que no se tenga como accesar la revista.

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  2. Este tema se me hace muy interesante, pero muy complicado. Gracias por la información.

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